Euklides był pierwszym matematykiem, który opracował aksjomaty w tej dziedzinie. Przez ponad 20 wieków uchodziły one za podstawę do budowy innych twierdzeń.
Aksjomaty geometrii euklidesowej:
| 1. Punkty i odcinek | Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. |
| 2. Prosta | Prostą można uzyskać przedłużając odcinek w nieskończoność. |
| 3. Okrąg | Dla danego odcinka można zbudować okrąg, którego promieniem jest ten odcinek. |
| 4. Kąty proste | Kąty proste są przystające. |
| 5. Dwie proste | Dwie nierównoległe proste na płaszczyźnie mają tylko jeden punkt wspólny. |
Wytłumaczenie znaczenia aksjomatów Euklidesa
Aksjomat to inaczej pewnik, coś sprawdzonego i prawdziwego, w ujęciu matematycznym słowo to łączy się z logiką matematyczną. Pierwszy z aksjomatów mówi, że jeśli mamy dwa niepokrywające się na płaszczyźnie punkty, można je połączyć – przeprowadzić przez nie – tylko jedną prostą. Drugi z nich postuluje nieskończoność każdej z prostych, które można przedłużać dowolnie oba końce. Trzeci z aksjomatów można najprościej wytłumaczyć w następujący sposób: jeśli poprzez obrót danym odcinkiem – o dowolnej długości – wyznaczymy okrąg, to odcinek ten będzie jego promieniem. Mówiący o kątach prostych aksjomat stał się początkiem wielu innych ważnych twierdzeń matematycznych – inaczej można go zdefiniować tak, że wszystkie kąty proste przylegające do siebie są równe, mają tą samą miarę 90 stopni. Ostatni z aksjomatów dotyczy dwóch nierównoległych prostych (czyli takich, które mają u podstawy kąt mniejszy niż 90 stopni); wiadomo, że przetną się one tylko raz, po stronie, po której znajdują się właśnie owe kąty.
Geometria euklidesowa jest najpowszechniejsza w matematyce, zwłaszcza analitycznej, ale znajdziemy też przykłady na geometrie nieeuklidesowe – w takim przypadku zaprzecza się któremuś aksjomatowi lub też opiera wszystko tylko na czterech aksjomatach Euklidesa.
Geneza aksjomatów geometrii euklidesowej
Euklides zebrał całą ówczesną wiedzę matematyczną w swym dziele z IV w. p.n.e. nazwanym „Elementy”. Była to pierwsza aksjomatyzacja pojęć dokonana w historii matematyki. W teorii aksjomatów geometrii euklidesowej wszystkie twierdzenia matematyczne musiały wynikać z powyższych aksjomatów. Cztery pierwsze nie budziły nigdy żadnych kontrowersji, co innego piąty z nich, nazwany postulatem Euklidesa lub też postulatem równoległości. Sam Euklides w swym dziele praktycznie tylko o nim wspomniał. Uczeni późniejsi byli przekonani, że mimo wszystko postulat ten wziął się z jego wyliczeń i był traktowany na równi z innymi – tak było aż do XIX wieku, gdy odkryto, że można go bez problemu zastąpić innymi twierdzeniami, które dają spójny system całości: tak powstały geometrie nieeuklidesowe (hiperboliczne, eliptyczne itd.). Z czasem okazało się, że system Euklidesa nie był zupełny, więc nie można do końca udowodnić ani prawdziwości, ani fałszu we wszystkich aksjomatach.
Kim był Euklides?
Euklides był greckim matematykiem związanym z Aleksandrią. Żył na przełomie IV/III w. p.n.e. Tak naprawdę niemal nic o nim nie wiemy – nawet jego imię wspomniane jest tylko w jednym ze starych dzieł, w innych nazywany jest „autorem Stoicheia” („Stoicheia geometrias” to grecki tytuł „Elementów”). Podobno kształcił się w Atenach, był młodszy od uczniów Platona. Wiadomo, że zajmował się też optyką (i dzieło temu poświęcone przetrwało), a także krzywymi stożkowymi, ale i astronomią czy muzyką (te zaginęły, są jedynie znane z opisów).
Opinie - Aksjomaty geometrii euklidesowej