Trójki pitagorejskie

Tabliczkę z trójkami pitagorejskimi przedstawił światu pierwowzór Indiany Jonesa, a wynika z niej, że trójki powinny nazywać się raczej babilońskimi.

Tabela trójek pitagorejskich

Trójki spełniają \(a^2+b^2=c^2\)

Trójki pitagorejskie – tysiące lat historii

Trójki pitagorejskie noszą oczywiście nazwę od swego legendarnego odkrywcy, Pitagorasa. Nie udowodniono jednak, że to on jako pierwszy ich używał, dowody archeologiczne wręcz temu przeczą (a od samego Pitagorasa częściej i bardziej wyrafinowanie używał ich Diofantos, a potem Euklides, który stworzył wzór do generowania trójek pitagorejskich). Najstarsze ślady do trójek pitagorejskich prowadzą do Babilonii i liczą sobie ponad 3500 lat. Zapisano je na tabliczce, którą nabył, wraz z setkami innych, niejaki Edgar Banks. Ów entuzjasta świata starożytnego – przez wielu uznawany za pierwowzór Indiany Jonesa, prywatnie dyplomata, pisarz, antykwariusz, ale z wykształceniem archeologicznym (wspinał się na górę Ararat,  by znaleźć Arkę Noego, był konsultantem Cecila B. DeMille'a podczas kręcenia eposów biblijnych) – tabliczkę za 10 dolarów sprzedał nowojorskiemu wydawcy Georgowi Arthurowi Plimptonowi, stąd też dziś znana jest jako tabliczka Plimpton 322 (znajduje się na Uniwersytecie Columbia). To tam znaleziono przykłady trójek pitagorejskich, tych najprostszych i najczęściej stosowanych. Tabliczka była wiele razy badana i potwierdzono jej autentyczność, datując na mniej więcej 1800 r p.n.e., a jako miejsce pochodzenia zaznaczając południowy Irak. Podobne tabliczki odkryto potem w Niniwie. Owe gliniane tabliczki z trójkami liczbowymi spełniały twierdzenie Pitagorasa, były tam trójki 3-4-5 lub 5-12-13, ale także wymieniono znacznie większe liczby. Jeszcze innym przykładem jest tabliczka wykopana przez Jeana-Vincenta Scheila w Sippar, niedaleko Bagdadu. Nie zainteresowała ona początkowo matematyków, gdyż uznano ją za dokument katastralny. Okazało się potem, że Babilończycy posługiwali się trójkami pitagorejskimi, aby ułatwić sobie obliczanie i wyznaczenie obszarów pól uprawnych, na przykład przeznaczonych na sprzedaż. Po nich, a przed Grekami, używali ich także architekci z Indii, mniej więcej od 800 r p.n.e.

Trzeba też zaznaczyć, że jeśli (a, b, c) jest trójką pitagorejską, to punkt (a/c, b/c) jest punktem na okręgu jednostkowym o współrzędnych wymiernych. W rzeczywistości znalezienie wszystkich trójek pitagorejskich jest więc równoważne ze znalezieniem wszystkich takich punktów. Oczywiście wytypowanie największej trójki pitagorejskiej jest niemożliwe, wartości mogą ciągnąć się w nieskończoność. Przed kilku laty trójka naukowców przedstawiła rozwiązanie problemu trójek pitagorejskich Boole'a – ów dowód mieścił się na dysku o pojemności 200 terabajtów. Pobranie skompresowanej wersji zajęło by... 30 tysięcy godzin (przynajmniej w czasie, kiedy ogłoszono wynik). Nie sposób oczywiście zweryfikować wyników nie korzystając z najnowszych komputerów, co budzi wątpliwości świata nauki – mogą oczywiście być poprawne, tylko czy to już praca AI czy jeszcze matematyka?