Trygonometrię uważa się za jedną z ważniejszych dziedzin matematyki; aby dobrze rozwiązywać zadania trygonometryczne, konieczna jest znajomość odpowiednich tablic z wartościami funkcji kątów.
Tablica wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów
W tabli poniżej przedstawiono wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów przedstawionych w radianach i stopniach.
| \(\alpha\) | \(\text{sin} \: \alpha\) | \(\text{cos} \: \alpha\) | \(\text{tg} \: \alpha\) | \(\text{ctg} \: \alpha\) | |
| \(\text{radiany}\) | \(\text{stopnie}\) | ||||
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-\) |
| \(\dfrac{\pi}{12}\) | \(15\) | \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) | \(2 - \sqrt{3}\) | \(2 + \sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{10}\) | \(18\) | \(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{25 - 10 \sqrt{5}}}{5}\) | \(\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}\) |
| \(\dfrac{\pi}{8}\) | \(22 \dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\) | \(\sqrt{2} -1\) | \(\sqrt{2} + 1\) |
| \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(30\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(45\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(60\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(\dfrac{5}{12} \pi\) | \(75\) | \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) | \(2 + \sqrt{3}\) | \(2 - \sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(90\) | \(1\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) |
| \(\pi\) | \(180\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(-\) |
| \(\dfrac{3}{2} \pi\) | \(270\) | \(-1\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) |
| \(2 \pi\) | \(360\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-\) |
Czym są funkcje trygonometryczne?
Funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne pozwalające określić zależność między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym. Pozwalają też wyznaczyć kąt, jeśli znamy wartości dwóch boków trójkąta, lub jeden lub dwa boki, jeśli znamy co najmniej jeden kąt i jeden bok. Główne wartości podane w tablicach są nazywane standardowymi wartościami funkcji trygonometrycznych pod określonymi kątami i są najczęściej używane w obliczeniach. Główne wartości tych funkcji zostały wyprowadzone z okręgu jednostkowego. Najczęściej korzystamy z sinusa, cosinusa i tangensa, ale mają one swoje odwrotności, z tych wykorzystywany jest zazwyczaj jeszcze cotangens, o wiele rzadziej secans i cosecans. Powszechnie używane dziś skróty na ich nazwy (czyli sin, cos itp.) weszły do matematyki stosunkowo późno, na przełomie XVII/XVIII wieku, kiedy to zaczęto stosować notację funkcyjną. Pamiętajmy, że tablice trygonometryczne z konkretnymi jednostkami zawierają wiele przybliżonych wartości, dokładne wartości niektórych kątów można wyrazić za pomocą kombinacji działań arytmetycznych i pierwiastków kwadratowych.
Radian – co to za jednostka?
Radian – oznaczany jako rad – to niemianowana jednostka układu SI (wprowadzono ją i usystematyzowano w 1960 roku), której nazwa pochodzi od słowa „radius”, czyli „promień”. To jednostka miary łukowej kąta płaskiego będąca miarą kąta środkowego, w którym długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy jest równa wspomnianemu promieniowi. Jako pierwsi kąty,stosując miarę łukową, zaczęli mierzyć prawdopodobnie Arabowie, a przynajmniej zachowały się zapisy o tym świadczące, pochodzące z początków XV wieku – wymienić można by tutaj jednego z uczonych z dworu Tamerlana, Al-Kashiego, matematyka i astronoma. O miarach łukowych wspominał Newton, ale wykorzystywał je w innych celach, współczesną definicję przypisuje się Rogerowi Cotesowi (ów naukowiec nie ogłosił jednak tego samodzielnie, po śmierci jego dzieła i notatki opublikował jego kuzyn, Robert Smith). Jako jednostkę kąta radian przyjął potem Leonhard Euler, choć w jego czasach mówiono o mierze kołowej kąta. Termin radian pojawił się w druku o wiele później, dopiero w 1873 roku.
Arjabhata, geniusz z Indii
Trygonometria bardzo wiele zawdzięcza żyjącemu na przełomie V/VI wieku pochodzącemu z Indii Arjabhacie (można też znaleźć zapis Aryabhata). To on – poza tym, że spopularyzował cyfry w takiej formie, jaką dziś używamy – opracował tabelę sinusów, która obowiązuje do dziś. Nie używał oczywiście nazwy sinus, a jya (w Indiach używano trzech funkcji trygonometrycznych, będących funkcjami łuków okręgów). To słowo potem ewoluowało – na arabski przetłumaczono je jiba, potem zniekształcono na jaib, co oznacza „kieszeń/fałdę w ubraniu” lub „zatoczkę”. Gerardo z Cremony tłumacząc arabskie dzieła zamiast jaib użył łacińskiego sinus, co odpowiada właśnie „zatoce”.
Opinie - Wartości funkcji trygonometrycznych - Tablice trygonometryczne