Augustus De Morgan sformułował dwa prawa wchodzące w zakres logiki matematycznej i teorii mnogości.
Tabelka ilustrująca prawa De Morgana
| p | q | \(\neg (p \bigwedge q)\) | \( (\neg p) \bigvee (\neg q) \) | \(\neg (p \bigvee q)\) | \( (\neg p) \bigwedge (\neg q) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Prawa:
\(\neg (p \bigwedge q) \leftrightarrow (\neg p) \bigvee (\neg q) \)
\(\neg (p \bigvee q) \leftrightarrow (\neg p) \bigwedge (\neg q) \)
Symbole p i q to zdania w sensie logiki.
O czym mówią prawa De Morgana?
Prawa De Morgana wchodzą w zakres reguł logiki matematycznej i teorii mnogości, wiążąc ze sobą pary spójników, kwantyfikatorów lub działań na zbiorach. W grę wchodzi tu negacja lub funkcje dopełnienia zbioru. Pierwsze prawo De Morgana to inaczej prawo zaprzeczenia koniunkcji. Mówi ono, że negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji. Drugie prawo De Morgana jest tak zwanym prawem zaprzeczenia alternatywy. W takim ujęciu negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji.
Warto zauważyć, że do wniosków podobnych do tych z praw De Morgana doszedł już Arystoteles i znali je starogreccy logicy, powoływał się na nie też w XIV wieku William z Ockham, duchowny uważany za jednego z najwybitniejszych myślicieli epoki. De Morgan natomiast „ubrał” je w terminologię współczesnej logiki formalnej i czynnie stosował w jej obrębie, stąd też raczej nie podważa się jego wkładu w skonstruowanie twierdzeń.
Kim był De Morgan?
Augustus De Morgan urodził się w 1806 roku, co prawda w Indiach, ale był Brytyjczykiem (tak właśnie się określał, podkreślając, że nie jest Anglikiem, ani Szkotem, ani Irlandczykiem) – jego ojciec był wysoko postawionym wojskowym pracującym dla słynnej Kompanii Wschodnioindyjskiej, matka zaś była wnuczką Jamesa Dodsona, twórcy tablicy antylogarytmów (być może to po dziadku De Morgan odziedziczył talent matematyczny). Jego talent matematyczny odkrył przypadkowo przyjaciel rodziny, który był świadkiem, jak De Morgan za pomocą cyrkla i linijki odtwarza skomplikowane rysunki figur z dzieł Euklidesa. W Oriel College w Oksfordzie młody De Morgan wolał jednak literaturę klasyczną od matematyki, którą traktował bardziej jako hobby. Zmieniło się to podczas edukacji w Trinity College w Cambridge, tam też uzyskał licencjat. Dalszą karierę naukową pokrzyżowała mu teologia – odmówił zdawania obowiązkowych egzaminów z tej dziedziny i nie mógł uzyskać stopnia magistra. Odnalazł się dopiero w świeckim Uniwersytecie Londyńskim, gdzie został profesorem i napisał kilka dzieł z zakresu matematyki, które stały się potem na pewien czas podręcznikami. Po odejściu z uczelni był korepetytorem, konsultantem do spraw aktuarialnych (aktuariusz wylicza ryzyko i wartość projektów finansowych), członkiem Królewskiego Towarzystwa Astronomicznego, a potem wrócił na Uniwersytet Londyński. Wiadomo, że zetknął się z pracami indyjskiego samouka Ramchundry związanymi z logiką, i prace te wywarły na nim ogromne wrażenie. Prywatnie był zagorzałym mieszczuchem, źle czuł się poza Londynem, unikał wszelkich wyjazdów na wieś (co być może miało związek z jego niepełnosprawnością). Wychowany jako anglikanin wiele razy stawał w obronie wolności wyznania, z tego powodu nieraz porzucał stanowiska i możliwości awansu, pod koniec życia związał się z Free Christians Union, którego założycielem był James Martineau (był to w zasadzie kościół unitariański, w owych czasach często traktowany jak sekta). Odkrycia De Morgana dziś wykorzystywane są w teorii mnogości, teorii prawdopodobieństwa, teorii relacji, logiki formalnej, algebry logiki (a pośrednio także w informatyce).
Opinie - Prawa De Morgana