Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych wykonujemy analogicznie do równania z logarytmem, tzn.
Zawsze najpierw wyznaczamy dziedzinę z warunków w definicji logarytmów:
\( \log_{a}c\)
\(a>0\) i \(a\neq 1\) oraz \(c>0\)
Przykład wyznaczenia dziedziny w nierówności z logarytmem.
\(\log_{4} (x+5)+\log_{4}(4-2x)>1\)
Sprawdzamy miejsca, w których występuje \(x\), znajduje się on w liczbie logarytmowanej (powinna być ona większa od zera), więc wyznaczamy warunki:
\(x+5>0\) i \(4-2x>0\)
\(x>-5\) i \(-2x>-4\)
\(x>-5\) i \(x<2\)
Nasz \(x\) misi być większy niż \(-5\) i mniejszy od \(2\). Dziedzinę możemy zapisać:
\(x\: \epsilon \: (-5;2)\)
Po wyznaczeniu dziedziny funkcji, przystępujemy do rozwiązywania. Przekształcamy nierówność do postaci:
\(\log_{a} (dowolne \: wyrazy) > \log_{a} (inne \: dowolne \: wyrazy)\)
- inaczej \(\log_{a} (b) > \log_{a} (c)\)
Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż nierówność:
a) \(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)
b) \(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
c) \( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
d) \(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\) Zobacz rozwiązanie
Zawsze najpierw wyznaczamy dziedzinę z warunków w definicji logarytmów:
\( \log_{a}c\)
\(a>0\) i \(a\neq 1\) oraz \(c>0\)
Przykład wyznaczenia dziedziny w nierówności z logarytmem.
\(\log_{4} (x+5)+\log_{4}(4-2x)>1\)
Sprawdzamy miejsca, w których występuje \(x\), znajduje się on w liczbie logarytmowanej (powinna być ona większa od zera), więc wyznaczamy warunki:
\(x+5>0\) i \(4-2x>0\)
\(x>-5\) i \(-2x>-4\)
\(x>-5\) i \(x<2\)
Nasz \(x\) misi być większy niż \(-5\) i mniejszy od \(2\). Dziedzinę możemy zapisać:
\(x\: \epsilon \: (-5;2)\)
Po wyznaczeniu dziedziny funkcji, przystępujemy do rozwiązywania. Przekształcamy nierówność do postaci:
\(\log_{a} (dowolne \: wyrazy) > \log_{a} (inne \: dowolne \: wyrazy)\)
- inaczej \(\log_{a} (b) > \log_{a} (c)\)
Po doprowadzeniu do takiej postaci,opuszczamy logarytm, pozostawiając wyrażenia logarytmowane. Bardzo istotnym jest, żeby przy opuszczaniu logarytmów, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, nie zmieniać znaku, jeśli natomiast podstawa logarytmu jest mniejsza niż 1 to odwracamy znak nierówności, czyli z \(>\) na \(<\) i odwrotnie, oraz \( \leqslant \) na \( \geqslant \) i odwrotnie.
W wyniku opuszczenia logarytmów otrzymujemy najczęściej nierówność liniową lub kwadratową, którą rozwiązujemy. Po rozwiązaniu tej nierówności sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny. Odrzucamy wyniki nienależące do dziedziny. Po wykonaniu tych operacji, otrzymaliśmy wynik.
Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż nierówność:
a) \(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)
b) \(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)
c) \( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)
d) \(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\) Zobacz rozwiązanie
Nierówności logarytmiczne Wasze opinie