Funkcja okresowa wzór

O funkcji okresowej mówimy wtedy gdy coś się powtarza, w szkole najczęściej będzie trzeba szukać powtarzalności przekształcając wzór, jednak bicie serca też jest okresowe, oddychanie, mruganie oczami, pory roku, wschody i zachody słońca, z tą różnicą, że w matematyce gdy mówimy o funkcji okresowej to chodzi nam o coś co dokładnie tak samo często się pojawia dlatego matematycznie nie możemy powiedzieć, że mruganie oczami jest funkcją okresową bo czasem mrugamy częściej innym razem mrugnięcie trwa bardzo długo (jak śpimy).

Definicja
 

gdzie n=1;2;... , a liczbę t nazywamy okresem funkcji. Na przykład funkcja \(\sin x\) jest okresowa o najmniejszym okresie \(2 \pi \), bicie serca jest funkcją okresową (zakładając, że nie przyspiesza oraz jest ogólnie zdrowe). Szczególnym przypadkiem funkcji okresowej jest funkcja stała - na wykresie pozioma linia prosta, jest to funkcja okresowa, ale nie posiada ona najkrótszego okresu, jednocześnie każda liczba jest jej okresem.

Jak sprawdzić czy funkcja jest okresowa:

Niech dana będzie funkcja \(f(x)= \sin 3x + \cos 2x\)  :

Aby sprawdzić czy funkcja jest okresowa trzeba sprawdzić czy istnieje takie \(f(x+t)\) które będzie równe \(f(x)\):

\(f(x+t)=f(x)\)

\(f(x+t)=\sin 3(x+t) + \cos 2(x+t)\)

\(f(x+t)=\sin (3x+3t) + \cos (2x+2t)\)

jeśli podstawimy za \(t=2\pi\)

\(f(x+2\pi)=\sin (3x+6\pi) + \cos (2x+4\pi)=\sin 3x + \cos 2x= f(x)\)

oznacza to, że funkcja \(f(x)\) jest okresowa oraz \(t=2\pi\) jest okresem funkcji.

W tym przypadku trzeba znać wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych by stwierdzić, czy funkcja jest okresowa. Należy pamiętać, że każda funkcja stała jest okresowa i prawie każda funkcja z sinusami, cosinusami. Najłatwiej jest określić z wykresu okresowość funkcji (pewien fragment się powtarza). Niestety trzeba mieć trochę wiedzy i doświadczenia by określać okresowość funkcji bardziej złożonych.