Ślad macierzy jest to suma elementów leżących na przekątnej danej macierzy.
Przykład:
Mając macierz \(A =\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & -4\\
-3 & 4 & -6 & 12\\
-9 & 2 & -1 & 3\\
5 & 0 & 2 & 1
\end{bmatrix} \)
obliczamy ślad macierzy w sposób następujący:
\(tr(A) =tr\begin{bmatrix}
{\color{red}1} & 2 & 4 & -4\\
-3 & {\color{red}4} & -6 & 12\\
-9 & 2 & {\color{red}{-1}} & 3\\
5 & 0 & 2 & {\color{red}1}
\end{bmatrix} = 1+4+(-1)+1=5\)
Teoria
Ślad macierzy definiujemy tylko dla macierzy kwadratowej. Ślad macierzy kwadratowej \(A =[a_{ij}]\) stopnia \(n\) jest sumą elementów leżących na głównej przekątnej (diagonali). Ślad macierzy oznaczamy \(Tr(A)\), \(TrA\) oraz \(\text{trace}(A)\).
\(Tr(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + ... + \: a_{nn}\)Przykład:
Mając macierz \(A =\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & -4\\
-3 & 4 & -6 & 12\\
-9 & 2 & -1 & 3\\
5 & 0 & 2 & 1
\end{bmatrix} \)
obliczamy ślad macierzy w sposób następujący:
\(tr(A) =tr\begin{bmatrix}
{\color{red}1} & 2 & 4 & -4\\
-3 & {\color{red}4} & -6 & 12\\
-9 & 2 & {\color{red}{-1}} & 3\\
5 & 0 & 2 & {\color{red}1}
\end{bmatrix} = 1+4+(-1)+1=5\)
Teoria
Ślad macierzy definiujemy tylko dla macierzy kwadratowej. Ślad macierzy kwadratowej \(A =[a_{ij}]\) stopnia \(n\) jest sumą elementów leżących na głównej przekątnej (diagonali). Ślad macierzy oznaczamy \(Tr(A)\), \(TrA\) oraz \(\text{trace}(A)\).
Własności śladu macierzy:
• jeśli macierze \(A = a_{ij}\) i \(B = b_{ij}\) są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia to:
\(Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)\),
• jeśli macierz \(A= a_{ij}\) jest macierzą kwadratową, a \(\alpha\) jest liczbą rzeczywistą to:
\(Tr(\alpha A) = \alpha Tr (A)\),
• jeśli \(A \in M_{n}\) a \(B \in M_{n}\) to:
\(Tr(AB) = Tr(BA)\),
• jeśli \(A \in M_{n}\), \(B \in M_{n}\) i \(C \in M_{n}\) (cykliczna przemienność śladu) to :
\(Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA)\)
• przekątna główna macierzy nie ulegnie zmianie przy transpozycji:
\(Tr(A) = Tr(A^T)\).
\(Tr(\alpha A) = \alpha Tr (A)\),
• jeśli \(A \in M_{n}\) a \(B \in M_{n}\) to:
\(Tr(AB) = Tr(BA)\),
• jeśli \(A \in M_{n}\), \(B \in M_{n}\) i \(C \in M_{n}\) (cykliczna przemienność śladu) to :
\(Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA)\)
• przekątna główna macierzy nie ulegnie zmianie przy transpozycji:
\(Tr(A) = Tr(A^T)\).
Ślad macierzy Wasze opinie
Dzieki