Ciąg arytmetyczny – Zadanie 7 obliczenia

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego mając dane:

a) \(a_4=32 \:\:\:\: a_8=56\)     b) \(a_7=60 \:\:\:\: a_{11}=100\)

Do rozwiązania użyjemy wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

wstawimy za \(a_n\) raz pierwszą wartość a raz drugą wartość, uzyskamy w ten sposób uklad równań, który po rozwiązaniu da nam wszystkie potrzebne wartości do zapisania wzoru ogólnego danego ciągu.

\(\left\{\begin{matrix}

32=a_1+(4-1)\cdot r\\

56=a_1+(8-1)\cdot r

\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}

32=a_1+3 \cdot r\\

56=a_1+7 \cdot r

\end{matrix}\right.\)

odejmujemy stronami równania

\(56-32=a_1-a_1+7\cdot r -3\cdot r\)

\(24=4\cdot r\)

\(r=6\)

wstawiamy wyliczone \(r\) do jednego z równań:

\(32=a_1+3\cdot 6\)

\(32=a_1+18\)

\(a_1=14\)

teraz możemy wyliczone wartości wstawić do wzoru ogólnego

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

\(a_n=14+(n-1)\cdot 6\)

\(a_n=14+6n-6\)

\(a_n=6n+8\)

Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=6n+8\).

b)

\(a_7=60 \:\:\:\: a_{11}=100\)

Rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a)

\(\left\{\begin{matrix}

60=a_1+(7-1)\cdot r\\

100=a_1+(11-1)\cdot r

\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}

60=a_1+6 \cdot r\\

100=a_1+10 \cdot r

\end{matrix}\right.\)

\(100-60=a_1-a_1+10\cdot r -6\cdot r\)

\(40=4\cdot r\)

\(r=10\)

\(60=a_1+6\cdot 10\)

\(60=a_1+60\)

\(a_1=0\)

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

\(a_n=0+(n-1)\cdot 10\)

\(a_n=10n-10\)

Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=10n-10\).



Zadanie 1

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 8 

Zadanie 9 

Zadanie 10

Zadanie 11