Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego mając dane:
a) \(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\) b) \(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)
Aby rozwiązać zadanie, skorzystamy z wzoru na n-ty ciągu geometrycznego, stworzymy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)
a)
\(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\)
za \(a_n\) wstawimy \(a_2\) czyli wartość 29, zamiast \(n\) wstawimy \(2\). Analogicznie postąpimy z drugą liczba, więc:
\( \left\{\begin{matrix}
49=a_1\cdot q^{2-1}\\
16807=a_1\cdot q^{5-1}
\end{matrix}\right.\)
\( \left\{\begin{matrix}
49=a_1\cdot q\\
16807=a_1\cdot q^4
\end{matrix}\right.\)
następnie podzielimy równanie drugie przez pierwsze, zredukuje się wtedy \(a_1\):
\(\dfrac{16807}{49}=\dfrac{a_1\cdot q^4}{a_1 \cdot q}\)
\(343=q^3\)
\(q=7\)
wyliczone \(q\) wstawiamy do pierwszego równania i wyliczamy \(a_1\):
\(49=a_1\cdot 7\)
\(a_1=7\)
można zapisać wzór na n-ty wyraz ciągu:
\(a_n=7\cdot 7^{n-1}=7\cdot 7^n\cdot 7^{-1}=7\cdot \dfrac{1}{7}\cdot 7^n=7^n\)
Odpowiedź: Szukane wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego to \(a_n=7^n\)
b)
\(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)
rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a);
\( \left\{\begin{matrix}
8748=a_1\cdot q^{7-1}\\
708588=a_1\cdot q^{11-1}
\end{matrix}\right.\)
\( \left\{\begin{matrix}
8748=a_1\cdot q^6\\
708588=a_1\cdot q^{10}
\end{matrix}\right.\)
dzielimy stronami,
\(\dfrac{708588}{8748}=\dfrac{a_1\cdot q^{10}}{a_1\cdot q^6}\)
\(81=q^4\)
\(q=3 \:\:\:\: \vee \:\:\:\: q=-3\)
wstawiamy do pierwszego równania,
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
8748=a_1\cdot q^6
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
8748=a_1\cdot q^6
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
8748=a_1\cdot 3^6
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
8748=a_1\cdot (-3)^6
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
8748=a_1\cdot 729
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
8748=a_1\cdot 729
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
a_1=12
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
a_1=12
\end{matrix}\right.\)
Wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:
\(a_n=12\cdot 3^{n-1} \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=12\cdot (-3)^{n-1}\)
\(a_n=12\cdot 3^n\cdot \dfrac{1}{3} \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=12\cdot (-3)^n\cdot (-\dfrac{1}{3})\)
\(a_n=4\cdot 3^n \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=-4\cdot (-3)^n\)
Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać \(a_n=4\cdot 3^n\) lub \( a_n=-4\cdot (-3)^n\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Zadanie 8
a) \(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\) b) \(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)
Aby rozwiązać zadanie, skorzystamy z wzoru na n-ty ciągu geometrycznego, stworzymy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)
a)
\(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\)
za \(a_n\) wstawimy \(a_2\) czyli wartość 29, zamiast \(n\) wstawimy \(2\). Analogicznie postąpimy z drugą liczba, więc:
\( \left\{\begin{matrix}
49=a_1\cdot q^{2-1}\\
16807=a_1\cdot q^{5-1}
\end{matrix}\right.\)
\( \left\{\begin{matrix}
49=a_1\cdot q\\
16807=a_1\cdot q^4
\end{matrix}\right.\)
następnie podzielimy równanie drugie przez pierwsze, zredukuje się wtedy \(a_1\):
\(\dfrac{16807}{49}=\dfrac{a_1\cdot q^4}{a_1 \cdot q}\)
\(343=q^3\)
\(q=7\)
wyliczone \(q\) wstawiamy do pierwszego równania i wyliczamy \(a_1\):
\(49=a_1\cdot 7\)
\(a_1=7\)
można zapisać wzór na n-ty wyraz ciągu:
\(a_n=7\cdot 7^{n-1}=7\cdot 7^n\cdot 7^{-1}=7\cdot \dfrac{1}{7}\cdot 7^n=7^n\)
Odpowiedź: Szukane wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego to \(a_n=7^n\)
b)
\(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)
rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a);
\( \left\{\begin{matrix}
8748=a_1\cdot q^{7-1}\\
708588=a_1\cdot q^{11-1}
\end{matrix}\right.\)
\( \left\{\begin{matrix}
8748=a_1\cdot q^6\\
708588=a_1\cdot q^{10}
\end{matrix}\right.\)
dzielimy stronami,
\(\dfrac{708588}{8748}=\dfrac{a_1\cdot q^{10}}{a_1\cdot q^6}\)
\(81=q^4\)
\(q=3 \:\:\:\: \vee \:\:\:\: q=-3\)
wstawiamy do pierwszego równania,
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
8748=a_1\cdot q^6
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
8748=a_1\cdot q^6
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
8748=a_1\cdot 3^6
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
8748=a_1\cdot (-3)^6
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
8748=a_1\cdot 729
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
8748=a_1\cdot 729
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
q=3\\
a_1=12
\end{matrix}\right.
\:\:\:\: \vee \:\:\:\:
\left\{\begin{matrix}
q=-3\\
a_1=12
\end{matrix}\right.\)
Wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:
\(a_n=12\cdot 3^{n-1} \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=12\cdot (-3)^{n-1}\)
\(a_n=12\cdot 3^n\cdot \dfrac{1}{3} \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=12\cdot (-3)^n\cdot (-\dfrac{1}{3})\)
\(a_n=4\cdot 3^n \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=-4\cdot (-3)^n\)
Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać \(a_n=4\cdot 3^n\) lub \( a_n=-4\cdot (-3)^n\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Zadanie 8
Jak obliczyć ciąg geometryczny – zadanie 7 - wyniki